Производная и ее геометрический смысл

Алгебра 11 класс тема: “Производная и ее геометрический смысл.

Шаршина Юлия Юрьевна ГОУ ЦО 162 Санкт-Петербург

Теория

Примеры решений

Производная степенной функции для любого действительного показателя:

Найти производную функции:

f(x)=x5

Решение:

с’=0; x’=1

6′=0; 12′=0; (-58)’=0

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

f(x))’=cf‘(x)

Найти производную функции:

f(x)=4x6

Решение:

Производная суммы равна сумме производных:

(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)

Найти производную функции:

f(x)=2x4-3x3+4x

Решение:

f ‘(x)=(2x4-3x3+4x)’=2∙4x4-1-3∙3x3-1+4=8x3-9x2+4

Производная произведения:

(f(x)∙g(x))’=f‘(x)∙g(x)+ f(x)∙g‘(x)

Найти производную функции f(x)∙g(x), если

f(x)=3x2-5, g(x)=2x+7.

Решение:

(f(x)∙g(x))’=(3x2-5)’(2x+7)+ =(3x2-5)(2x+7)’=6x(2x-7)+(3x2-5)∙2=12x2-42x+6x2-10=18x2-42x-10

Производная частного:

, при g(x)≠0

Найти производную функции:

f(x)=

Решение:

f(x

Производные некоторых элементарных функций:

Найти производные функций:

Производная сложной функции:

(f(g(x)))’=f‘(g(x))∙g‘(x)

Найти производную функции:

f(x)=(2x+3)8

Решение:

f(x)=((2x+3)8)’=8(2x+3)8-1(2x+3)‘=8(2x+3)7∙2=

=16(2x+3)7

Найти производную функции:

f(x)=sin(4x3+3)

Решение:

f(x)=(sin(4x3+3))=cos(4x3+3)(4x3+3)‘=

=cos(4x3+3)∙12x2=12x2∙cos(4x3+3)

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x;f(x)).

f‘(x)=tgα=k

Графиком касательной y=kx+b является прямая.

y=kx+b

Число k=tgα называют угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

1)Найти значение производной функции

f(x)=2x3+4x2-2 в точке x0=2.

2)Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=2x3+4x2-2 в точке с абсциссой x0=2

3)Найти тангенс угла между касательной к графику функции f(x)=2x3+4x2-2 в точке с абсциссой x0= 2 и осью Ох.

Решение:

f ‘(x)=(2x3+4x2-2)’=6x2+8x

f ‘(2)=6∙22+8∙2=6∙4+16=24+16=40

Ответ: f ‘(2)=40

Уравнение касательной к графику функции в точке (x0;f(x0))

y= f (x)+f ‘(x)∙(x-x0)

Написать уравнение касательной к графику функции f(x)= 2x3+4x2-2

в точке с абсциссой x0= -2.

Решение:

f(-1)= 2(-2)3+4(-2)2-2=2∙(-8)+4∙4-2=-16+16-2=-2

f ‘(x)=( 2x3+4x2-2)’=6x2+8x

f ‘(2)=6∙(-2)2+8∙(-2)=6∙4-16=24-16=8

y= f (x)+f ‘(x)∙(x-x0)

y= -2+8(x+2)

y=-2+8x+16

y=8x+14

Ответ: y=8x+14